Studiował dyrygenturę symfoniczną (prof. Tomasz Bugaj) oraz organy w Krakowie (prof. Krzysztof Latała) i Berlinie (prof. dr Ewald Kooiman), kończąc z wyróżnieniem Wydział Kompozycji, Dyrygentury i Teorii Muzyki na Akademii Muzycznej w Krakowie w 2002 roku. Absolwent studiów podyplomowych w obszarze teologii duchowości (Uniwersytet Papieski Jana
Pawła II w Krakowie) oraz studiów podyplomowych i kursów specjalistycznych w obszarze psychologii klinicznej, terapii rodzin i psychologii adolescencyjnej (Wyższa Szkoła Kształcenia Zawodowego Wrocław, Oxford University, University
of Cambridge).
Od 2004 roku działa zawodowo i artystycznie w Wielkiej Brytanii. Na przestrzeni lat założył i kierował kilkoma zespołami muzycznymi i organizacjami (Zespół Kameralistów „Pro Arte et Musica”, The EMFEB Singers, The 18th Century Ensemble London, St Gregory’s Schola London, Cantabile Music School London, Polski Korpus Kadetów Maltańskich w Wielkiej Brytanii, London Academy of Professional Development, Peter Abelard Society Oxford).
Wielokrotnie występował w kraju oraz za granicą, m.in. w Austrii, Niemczech, Włoszech, Francji, Słowacji, Rosji, Holandii, Belgii, Bośni i Hercegowinie i Wielkiej Brytanii. Wraz z londyńskimi grupami muzycznymi koncertował w Bazylice Św. Piotra w Watykanie, w Katedrze w Salzburgu, w Pałacu Schönbrunn w Wiedniu, a także w Westminster Abbey, Westminster Cathedral i Royal Albert Hall w Londynie. Brał udział w licznych festiwalach muzycznych oraz nagrywał dla radia i telewizji. Uczestniczył w prawykonaniach muzyki tworzonej współcześnie, wśród nich w światowej premierze „Koncertu organowego” Owena Bourne’a – kompozycji dedykowanej P. Salamońskiemu (Bridlington Priory, 2008) i światowej premierze musicalu „The Nightingale and the Rose” Jenny Gould (Londyn, 2008).
Współpracuje z prof. Roberto Antinolfi z Akademii Muzycznej św. Cecylii w Rzymie oraz z dr. Marco di Lenola z Pontificio Istituto di Musica Sacra w Rzymie. Przez kilka lat był zatrudniany przez brytyjskie środowisko operowe i chóralne jako pianista, korepetytor i dyrygent (Helen Roy, Hanna Curran, Maciek O’Shea, Adam Tunnicliffe, English Touring Opera, HR Opera and Musical Theatre London). Pełnił funkcję dyrektora muzycznego dwóch sezonów operowych HR O&MT. W latach 2005-2023 r. zajmował stanowisko głównego organisty, dyrektora muzycznego i chórmistrza w kościele Chrystusa Króla w Londynie.
Od 2015 roku zaangażowany jest w misję duchową, charytatywną i humanitarną Suwerennego Zakonu Maltańskiego, w pracę z seniorami domów opieki oraz w edukację artystyczną młodzieży w ramach programów The Associated Board of Royal Schools of Music UK.
Za wieloletnią służbę Kościołowi, Prymas Polski, Józef kard. Glemp, w 2009 roku odznaczył Przemysława Salamońskiego medalem „Ecclesiae Populoque Servitium Praestanti”, zaś rektor Polskiej Misji Katolickiej w Anglii i Walii „Złotym Krzyżem Zasługi PMK”. W 2006 roku otrzymał nominację do nagrody artystycznej „Pro Bono Publico” za działalność muzyczną na Śląsku.